他宣称他将为城市里所有不给自己刮脸的人刮脸，同时他也只给这些人刮脸。
某一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他下意识就抓起了刮胡刀，但在动手之前突然想到了自己曾经说过的话。
如果他不给自己刮脸，那么他就属于“城市中不给自己刮脸的人”，所以他就要给自己刮脸。
但如果他给自己刮脸，他就又属于“给自己刮脸的人”，所以他就不应该给自己刮脸。
除了理发师悖论，罗素悖论还有另外一种通俗易懂的科普形式。
一个图书馆编写了一本书名词典，这本词典里包含图书馆里所有不列出自己名字的书。
那无论这本词典是否把自己名字列进去都不合适，其中的原理和上面的理发师悖论差不多。
罗素悖论的提出，狠狠地打那帮说“一切数学成果可建立在集合论基础上”的数学家的脸。
一个德国的逻辑学家戈特洛布·弗雷格，写了一本关于集合的基础理论的书籍。
在这本书马上就要交到印刷厂的时候，弗雷格收到了罗素关于罗素悖论的一封信。
他立刻发现自己这一本书被罗素悖论搅得一团糟，只能在书的末尾添了一句：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时，却发现所干的工作的基础崩溃了。”
罗素悖论发表之后，又有一系列悖论接踵而至：理查德悖论、培里悖论、格瑞林和纳尔逊悖论……
这些悖论被称为语义悖论，动摇了数学大厦的基础，引发了第三次数学危机。
前两次数学危机，第一次发生于古希腊时期。
毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现边长为一的正方形对角线的长度，既不是整数，又不是两个整数的比。
当时的古希腊数学家不知道根号二，更不知道世界上还有无理数这种东西存在。
解决不了这个问题的他们，最终选择解决提出问题的人：
他们把希帕索斯扔到爱琴海里喂了鲨鱼。
第二次数学危机，萌芽于古希腊的芝诺悖论，阿基里斯能不能追得上乌龟，运动的箭矢到底是动还是不动？
古希腊人第一次接触到了无穷小带来的问题，而这次数学危机真正爆发，则是到了牛顿和莱布尼茨的年代。
他们两个人发明了用起来很方便的微积分，只是有一个问题，微积分中的无穷小量，到底是不是零？
无穷小量可能会出现在分母上，所以它就不应该为零。
可如果把无穷小量看成是零，去掉那些包含它的项，得到的公式能在力学和几何学当中的证明是正确的。
当时有人批评微积分是“恶魔的把戏”，是“用双重的错误，偶然得到了科学但不正确的结果”。
这次危机直到十九世纪，以柯西为首的数学家们，完善了极限的具体概念之后，才最终
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